三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$、$A = 15^\circ$、$C = 135^\circ$のとき、外接円の半径$R$と辺$c$の長さを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$、$A = 15^\circ$、$C = 135^\circ$のとき、外接円の半径$R$と辺$c$の長さを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$B$の角度を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 15^\circ - 135^\circ = 30^\circ$

正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

これに$b = \sqrt{2}$、$B = 30^\circ$を代入すると、

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = 2R$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2R$

$2\sqrt{2} = 2R$

$R = \sqrt{2}$

次に、正弦定理より、

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

$c = 2R \sin C$

これに$R = \sqrt{2}$、$C = 135^\circ$を代入すると、

$c = 2\sqrt{2} \sin 135^\circ$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$c = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} = 2$

$c = 2$

3. 最終的な答え

外接円の半径$R = \sqrt{2}$

辺$c = 2$