正七角形について以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (4) 対角線の本数

1. 問題の内容

正七角形について以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(4) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 正七角形の7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数が三角形の個数です。組み合わせの数は ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で計算できます。

${}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 正七角形の7個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数が四角形の個数です。

${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(3) 正七角形の7個の頂点から2個を選ぶ組み合わせの数が線分の本数です。

${}_7C_2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(4) 正七角形の頂点から2つを選んで線分を引く総数は ${}_7C_2$ です。この中には、正七角形の辺も含まれています。対角線は、これらの線分から正七角形の辺の数（7）を引いたものです。

対角線の本数 = ${}_7C_2 - 7 = 21 - 7 = 14$

3. 最終的な答え

(1) 35個

(2) 35個

(3) 21本

(4) 14本