三角形ABCにおいて、$a=2\sqrt{3}$、$B=45^\circ$、$C=15^\circ$ であるとき、$A$、$b$、$c$を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2\sqrt{3}$、$B=45^\circ$、$C=15^\circ$ であるとき、$A$、$b$、$c$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和が $180^\circ$ であることを利用して、$A$を求めます。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 120^\circ$

次に、正弦定理を用いて、$b$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$2\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = b \times \frac{2}{\sqrt{2}}$

$4 = b \times \frac{2}{\sqrt{2}}$

$b = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

最後に、正弦定理を用いて、$c$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} = \frac{c}{\sin 15^\circ}$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

$4 = c \times \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

$c = \frac{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$A = 120^\circ$

$b = 2\sqrt{2}$

$c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$