三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $A = 15^\circ$, $C = 135^\circ$のとき、外接円の半径$R$と辺$c$の長さを求める問題です。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $A = 15^\circ$, $C = 135^\circ$のとき、外接円の半径$R$と辺$c$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$であることから、$B$の角度を求めます。

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 15^\circ - 135^\circ = 30^\circ$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径$R$を求めます。正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$b = \sqrt{2}$と$B = 30^\circ$を代入すると、

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = 2R$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2R$

$2\sqrt{2} = 2R$

$R = \sqrt{2}$

最後に、正弦定理を用いて辺$c$の長さを求めます。

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

$C = 135^\circ$と$R = \sqrt{2}$を代入すると、

$\frac{c}{\sin 135^\circ} = 2\sqrt{2}$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}$

$c = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$

3. 最終的な答え

外接円の半径$R = \sqrt{2}$

辺$c = 2$