$\theta$は鋭角で、$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$のとき、$\sin\theta$と$\cos\theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角で、$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$のとき、$\sin\theta$と$\cos\theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$という条件から、$\tan$の余角の公式を用いて$\tan\theta$を求めます。

$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}$なので、

$\frac{1}{\tan\theta} = \frac{1}{2}$

$\tan\theta = 2$

次に、$\tan\theta$の値を使って、$\sin\theta$と$\cos\theta$を求めます。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$なので、$\sin\theta = 2\cos\theta$となります。

また、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$という関係式があります。

$\sin\theta = 2\cos\theta$を代入すると、

$(2\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$

$4\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$5\cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = \frac{1}{5}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos\theta > 0$。よって、

$\cos\theta = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin\theta = 2\cos\theta$に$\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$を代入すると、

$\sin\theta = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$