三角形ABCにおいて、$b=2$, $c=\sqrt{3}-1$, $A=30^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=2$, $c=\sqrt{3}-1$, $A=30^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$a$を求めます。余弦定理は、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

で与えられます。

与えられた値を代入すると、

$a^2 = 2^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2(2)(\sqrt{3}-1)\cos 30^\circ$

$a^2 = 4 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 4(\sqrt{3}-1)(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$a^2 = 4 + 4 - 2\sqrt{3} - 2(\sqrt{3}-1)\sqrt{3}$

$a^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 2(3 - \sqrt{3})$

$a^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 6 + 2\sqrt{3}$

$a^2 = 2$

$a = \sqrt{2}$

また、正弦定理を用いて、$a$を求めることもできます。

まず、正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\sin B}$

$a = \frac{2\sin 30^\circ}{\sin B}$

$a = \frac{1}{\sin B}$

しかし、$\sin B$を求めるには、別の情報が必要です。

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{2}$