三角形ABCにおいて、$AB = c$, $BC = a$, $CA = b$とする。$2 \cos A \sin B = \sin C$ という関係式が成り立つとき、以下の空欄を埋める問題。 ア：$\sin B = ?$ イ：$\sin C = ?$ ウ：$\cos A = ?$ エ：これらの結果を$2 \cos A \sin B = \sin C$に代入して得られる、$a, b, c$の関係式は？ オ：上記の$a, b, c$の関係式から、三角形ABCはどのような三角形か？

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = c$, $BC = a$, $CA = b$とする。$2 \cos A \sin B = \sin C$ という関係式が成り立つとき、以下の空欄を埋める問題。

ア：$\sin B = ?$

イ：$\sin C = ?$

ウ：$\cos A = ?$

エ：これらの結果を$2 \cos A \sin B = \sin C$に代入して得られる、$a, b, c$の関係式は？

オ：上記の$a, b, c$の関係式から、三角形ABCはどのような三角形か？

2. 解き方の手順

ア：正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$（Rは外接円の半径）なので、$\sin B = \frac{b}{2R}$

イ：同様に、$\sin C = \frac{c}{2R}$

ウ：余弦定理より、$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

エ：$2 \cos A \sin B = \sin C$に、ア、イ、ウの結果を代入する。

$2 \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \cdot \frac{b}{2R} = \frac{c}{2R}$

両辺に$2R$をかけて、

$2 \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \cdot b = c$

$b^2 + c^2 - a^2 = c^2$

$b^2 = a^2$

$a > 0, b > 0$ より、$a = b$

オ：$a = b$なので、三角形ABCは$a = b$の二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

ア：$\frac{b}{2R}$

イ：$\frac{c}{2R}$

ウ：$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

エ：$a=b$

オ：$a=b$の二等辺三角形