三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 2:3:4$ が成り立つとき、$\cos A, \cos B, \cos C$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 2:3:4$ が成り立つとき、$\cos A, \cos B, \cos C$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ であるから、$a:b:c = 2:3:4$ となる。

したがって、$a=2k$, $b=3k$, $c=4k$ （$k>0$）とおける。

余弦定理より、

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\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(3k)^2 + (4k)^2 - (2k)^2}{2(3k)(4k)} = \frac{9k^2 + 16k^2 - 4k^2}{24k^2} = \frac{21k^2}{24k^2} = \frac{7}{8}

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\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} = \frac{(4k)^2 + (2k)^2 - (3k)^2}{2(4k)(2k)} = \frac{16k^2 + 4k^2 - 9k^2}{16k^2} = \frac{11k^2}{16k^2} = \frac{11}{16}

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\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(2k)^2 + (3k)^2 - (4k)^2}{2(2k)(3k)} = \frac{4k^2 + 9k^2 - 16k^2}{12k^2} = \frac{-3k^2}{12k^2} = -\frac{1}{4}

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ここで、$\cos A = \frac{7}{8} = 0.875$, $\cos B = \frac{11}{16} = 0.6875$, $\cos C = -\frac{1}{4} = -0.25$ である。

$\cos A > \cos B > \cos C$ であるから、$\cos A$ が最大値である。

3. 最終的な答え

$\cos A$ の最大値は $\frac{7}{8}$