円 $x^2 + y^2 = 1$ に外接し、直線 $y = 3$ に接する円の中心Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ に外接し、直線 $y = 3$ に接する円の中心Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の中心をP($x$, $y$)、半径をrとします。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は原点(0, 0)であり、半径は1です。

* Pと原点の距離は、2つの円が外接するので、半径の和に等しくなります。つまり、$r + 1$です。したがって、

$\sqrt{x^2 + y^2} = r + 1$

* 円Pは直線$y=3$に接するので、$y$座標から$y=3$までの距離が半径$r$に等しくなります。つまり、

$|y - 3| = r$

$r = |y - 3|$

* $r$を消去するために、上記の2つの式を結合します。

$\sqrt{x^2 + y^2} = |y - 3| + 1$

$\sqrt{x^2 + y^2} - 1 = |y - 3|$

* 両辺を2乗します。

$(\sqrt{x^2 + y^2} - 1)^2 = (y - 3)^2$

$x^2 + y^2 - 2\sqrt{x^2 + y^2} + 1 = y^2 - 6y + 9$

$x^2 - 2\sqrt{x^2 + y^2} + 1 = -6y + 9$

$2\sqrt{x^2 + y^2} = x^2 + 6y - 8 + 1$

$2\sqrt{x^2 + y^2} = x^2 + 8 - 6y - 1 + 1 + 1 + 1 - 1$

$2\sqrt{x^2 + y^2} = x^2 - 8+6y$

$2\sqrt{x^2 + y^2} = x^2 - 6y + 8$

$4(x^2 + y^2) = (x^2 - 6y + 8)^2$

$4(x^2 + y^2) = x^4 + 36y^2 + 64 - 12x^2y + 16x^2 - 96y$

* しかし、$r = |y - 3| > 0$より、 $y \neq 3$です。 また、$\sqrt{x^2+y^2}=|y-3|+1$ より$\sqrt{x^2+y^2} > 1$がわかります. つまり, $x^2+y^2>1$

$\sqrt{x^2 + y^2} = r + 1 = |y - 3| + 1$

$x^2 + y^2 = (|y - 3| + 1)^2$

$\sqrt{x^2 + y^2} = |y - 3| + 1$

$x^2 + y^2 = (y-3)^2 + 2|y-3| + 1$

$x^2 + y^2 = y^2 - 6y + 9 + 2|y - 3| + 1$

$x^2 + 6y - 10 = 2|y - 3|$

$y \ge 3$のとき、$x^2 + 6y - 10 = 2(y - 3) = 2y - 6$

$x^2 = -4y + 4$

$4y = -x^2 + 4$

$y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$

$y < 3$なのでこれは不適

$y < 3$のとき、$x^2 + 6y - 10 = 2(3 - y) = 6 - 2y$

$x^2 + 8y = 16$

$8y = -x^2 + 16$

$y = -\frac{1}{8}x^2 + 2$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{8}x^2 + 2$