三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$であるとき、角A, 角B, 角Cの最大値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$であるとき、角A, 角B, 角Cの最大値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$が成り立つ。

したがって、$a : b : c = 3 : 5 : 7$である。

$a = 3k, b = 5k, c = 7k$とおく。（ただし、$k > 0$）

角Cが最大なので、余弦定理を用いて$\cos C$を求める。

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\cos C = \frac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2 \cdot 3k \cdot 5k} = \frac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

したがって、$C = 120^\circ$

3. 最終的な答え

角Cの最大値は$120^\circ$