座標空間内に3点A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) があり、これらの点が定める平面を$\alpha$とする。また、2点D(1, 1, 2), E(1, 1, 1)がある。 (1) Dから平面$\alpha$に下ろした垂線の足をHとするとき、Hの座標を求めよ。 (2) 点Pが平面$\alpha$上を動くとき、$DP + PE$の最小値を求めよ。また、そのときのPの座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間内に3点A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) があり、これらの点が定める平面を$\alpha$とする。また、2点D(1, 1, 2), E(1, 1, 1)がある。

(1) Dから平面$\alpha$に下ろした垂線の足をHとするとき、Hの座標を求めよ。

(2) 点Pが平面$\alpha$上を動くとき、$DP + PE$の最小値を求めよ。また、そのときのPの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

平面$\alpha$の方程式を求める。平面$\alpha$は点A, B, Cを通るので、$\vec{AB} = (-1, 1, 0)$、$\vec{AC} = (-1, 0, 1)$である。

平面$\alpha$の法線ベクトルを$\vec{n} = (a, b, c)$とすると、$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$、$\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$となる。

$-a + b = 0$、$-a + c = 0$より、$a = b = c$となる。

よって、$\vec{n} = (1, 1, 1)$とできる。

平面$\alpha$の方程式は$1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$より、$x + y + z - 1 = 0$となる。

したがって、平面$\alpha$の方程式は$x + y + z = 1$である。

直線DHは平面$\alpha$の法線ベクトル$\vec{n} = (1, 1, 1)$に平行なので、直線DHの式は、

$(x, y, z) = (1, 1, 2) + t(1, 1, 1) = (1 + t, 1 + t, 2 + t)$と表せる。

点Hは平面$\alpha$上にあるので、$(1 + t) + (1 + t) + (2 + t) = 1$を満たす。

$4 + 3t = 1$より、$3t = -3$、よって$t = -1$となる。

したがって、点Hの座標は$(1 - 1, 1 - 1, 2 - 1) = (0, 0, 1)$である。

(2)

点Eから平面$\alpha$に下ろした垂線の足をIとすると、点Iの座標は直線EI上の点なので、

$(x, y, z) = (1, 1, 1) + s(1, 1, 1) = (1 + s, 1 + s, 1 + s)$と表せる。

点Iは平面$\alpha$上にあるので、$(1 + s) + (1 + s) + (1 + s) = 1$を満たす。

$3 + 3s = 1$より、$3s = -2$、よって$s = -\frac{2}{3}$となる。

したがって、点Iの座標は$(1 - \frac{2}{3}, 1 - \frac{2}{3}, 1 - \frac{2}{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$である。

$DP + PE = DP + PI + IE \ge DI + IE$となる。

$DP + PE$が最小となるのは、点D, P, Iが一直線上にあるときである。

すなわち、点Pは線分DIと平面$\alpha$の交点である。

点Iの座標は$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$であり、点Dの座標は$(1, 1, 2)$である。

$\vec{DI} = (\frac{1}{3} - 1, \frac{1}{3} - 1, \frac{1}{3} - 2) = (-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{5}{3})$

直線DIの式は$(x, y, z) = (1, 1, 2) + u(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{5}{3})$と表せる。

点Pの座標を$(1 - \frac{2}{3}u, 1 - \frac{2}{3}u, 2 - \frac{5}{3}u)$とする。

点Pは平面$\alpha$上にあるので、$(1 - \frac{2}{3}u) + (1 - \frac{2}{3}u) + (2 - \frac{5}{3}u) = 1$を満たす。

$4 - \frac{9}{3}u = 1$より、$4 - 3u = 1$、$3u = 3$、よって$u = 1$となる。

したがって、点Pの座標は$(1 - \frac{2}{3}, 1 - \frac{2}{3}, 2 - \frac{5}{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$である。

$IE = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$である。

$DI = \sqrt{(\frac{1}{3} - 1)^2 + (\frac{1}{3} - 1)^2 + (\frac{1}{3} - 2)^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{33}{9}} = \frac{\sqrt{33}}{3}$

$DP + PE$の最小値は$DI + IE = \frac{\sqrt{33}}{3} + \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{33} + 2}{3}$である。

3. 最終的な答え

(1) Hの座標は $(0, 0, 1)$

(2) $DP + PE$の最小値は $\frac{\sqrt{33} + 2}{3}$、そのときのPの座標は $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$