問題19の(1)は、$b = \sqrt{2}, A = 15^{\circ}, C = 135^{\circ}$ のとき、外接円の半径 $R$ と $c$ を求める問題です。 問題19の(2)は、$b = 2, c = \sqrt{3} - 1, A = 30^{\circ}$ のとき、$a$ を求める問題です。 問題19の(3)は、$a = 5, b = 3, c = 7$ のとき、$C$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題19の(1)は、$b = \sqrt{2}, A = 15^{\circ}, C = 135^{\circ}$ のとき、外接円の半径 $R$ と $c$ を求める問題です。

問題19の(2)は、$b = 2, c = \sqrt{3} - 1, A = 30^{\circ}$ のとき、$a$ を求める問題です。

問題19の(3)は、$a = 5, b = 3, c = 7$ のとき、$C$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $A + B + C = 180^{\circ}$ より、 $B = 180^{\circ} - A - C = 180^{\circ} - 15^{\circ} - 135^{\circ} = 30^{\circ}$。

正弦定理 $\frac{b}{\sin B} = 2R$ より、$2R = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{1/2} = 2\sqrt{2}$。したがって、$R = \sqrt{2}$。

正弦定理 $\frac{c}{\sin C} = 2R$ より、$c = 2R \sin C = 2\sqrt{2} \sin 135^{\circ} = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$。

(2) 余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ より、

$a^2 = 2^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3} - 1) \cos 30^{\circ}$

$a^2 = 4 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 4(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 2(3 - \sqrt{3}) = 8 - 2\sqrt{3} - 6 + 2\sqrt{3} = 2$。

したがって、$a = \sqrt{2}$。

(3) 余弦定理 $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ より、

$\cos C = \frac{5^2 + 3^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{25 + 9 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$。

したがって、$C = 120^{\circ}$。

3. 最終的な答え

(1) $R = \sqrt{2}, c = 2$

(2) $a = \sqrt{2}$

(3) $C = 120^{\circ}$