(1) 極方程式 $r \sin^2 \theta + \sin \theta = r$ で表される曲線を、直交座標の $x, y$ の方程式で表す。 (2) 曲線 $(x^2 + y^2)^2 = 5(x^2 - y^2)$ を表す極方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 極方程式 $r \sin^2 \theta + \sin \theta = r$ で表される曲線を、直交座標の $x, y$ の方程式で表す。

(2) 曲線 $(x^2 + y^2)^2 = 5(x^2 - y^2)$ を表す極方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 極座標と直交座標の関係式 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, $r^2 = x^2 + y^2$ を利用する。

まず、与えられた極方程式 $r \sin^2 \theta + \sin \theta = r$ を変形する。

両辺に $r$ を掛けると、

$r^2 \sin^2 \theta + r \sin \theta = r^2$

$(r \sin \theta)^2 + r \sin \theta = r^2$

ここで、$y = r \sin \theta$ および $r^2 = x^2 + y^2$ を代入すると、

$y^2 + y = x^2 + y^2$

$y = x^2$

(2) 与えられた直交座標の方程式 $(x^2 + y^2)^2 = 5(x^2 - y^2)$ に、極座標と直交座標の関係式 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, $x^2 + y^2 = r^2$ を代入する。

$(r^2)^2 = 5(r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta)$

$r^4 = 5r^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$

$r^4 = 5r^2 \cos(2\theta)$

ここで、$r^2 \neq 0$ とすると、

$r^2 = 5 \cos(2\theta)$

もし $r = 0$ ならば、$(x,y) = (0,0)$ であるから、$0 = 5(0 - 0)$ となり、元の方程式を満たす。したがって、原点は含まれる。

また、$r^2 = 5 \cos(2\theta)$ において、$\theta$ の値に関わらず、$r=0$ となる場合は、$\cos(2\theta) = 0$ のときであり、$2\theta = \pi/2 + n\pi$、$n$ は整数。$\theta = \pi/4 + n\pi/2$

このとき、$x^2 + y^2 = 0$、すなわち $x = y = 0$ であるから、これも方程式を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2$

(2) $r^2 = 5 \cos(2\theta)$