問題は、与えられた三角形ABCにおいて、正弦定理を用いて指定された辺の長さを求める問題です。 (1) $a=10$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$ のとき、$b$ を求めます。 (2) $b=3\sqrt{2}$, $A=45^\circ$, $B=120^\circ$ のとき、$a$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた三角形ABCにおいて、正弦定理を用いて指定された辺の長さを求める問題です。

(1) $a=10$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$ のとき、$b$ を求めます。

(2) $b=3\sqrt{2}$, $A=45^\circ$, $B=120^\circ$ のとき、$a$ を求めます。

2. 解き方の手順

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ を用います。

(1) $a=10$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$ のとき、$b$ を求めます。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ です。

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}$ に値を代入します。

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ より、

$b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 10\sqrt{2}$

(2) $b=3\sqrt{2}$, $A=45^\circ$, $B=120^\circ$ のとき、$a$ を求めます。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ です。

$a = \frac{b \sin A}{\sin B}$ に値を代入します。

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$a = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 10\sqrt{2}$

(2) $a = 2\sqrt{3}$