$a=5$, $b=3$, $c=7$のとき、角$C$の大きさを求めなさい。

1. 問題の内容

$a=5$, $b=3$, $c=7$のとき、角$C$の大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて角$C$を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

この式を$\cos C$について解くと、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた値を代入すると、

$\cos C = \frac{5^2 + 3^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{25 + 9 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$となる角$C$を求めます。$0^\circ < C < 180^\circ$の範囲で考えると、

$C = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$C = 120^\circ$