三角形ABCにおいて、$\angle A = 67^\circ$, $\angle B = 35^\circ$, $\angle C = 24^\circ$ である。線分BEとCDの交点をFとする。このとき、$\angle DFB = x$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 67^\circ$, $\angle B = 35^\circ$, $\angle C = 24^\circ$ である。線分BEとCDの交点をFとする。このとき、$\angle DFB = x$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BEC$を求める。

三角形BCEにおいて、内角の和は180度なので、

$\angle BEC = 180^\circ - \angle EBC - \angle ECB = 180^\circ - 35^\circ - 24^\circ = 121^\circ$

次に、$\angle BDC$を求める。

三角形BCDにおいて、内角の和は180度なので、

$\angle BDC = 180^\circ - \angle DBC - \angle DCB = 180^\circ - 35^\circ - 24^\circ = 121^\circ$

次に、三角形ABCの内角の和を求める。

$\angle A + \angle B + \angle C = 67^\circ + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle C = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ$

$\angle B + \angle C = 35^\circ + 24^\circ = 59^\circ$

$\angle DFB = \angle DBF + \angle BDF$

$\angle DFB = x = \angle DBC + \angle ECB + \angle BAC = 35 + 24 + 67 = 126$

三角形DBFに着目する。

$\angle DBF = 35^\circ$

$\angle BDF = \angle ADC = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 67^\circ - 24^\circ = 89^\circ$

$x = 35^\circ + \angle BDA$

$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 35^\circ + 24^\circ + 67^\circ$

三角形BFCを考える。

$\angle BFC = 180^\circ - \angle FBC - \angle FCB = 180^\circ - 35^\circ - 24^\circ = 121^\circ$

$\angle DFB = 180^\circ - \angle BFC = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$

これは誤り。

角xは、三角形BDFの外角であるので、

$x = \angle B + \angle BDA$

三角形ADCにおいて、

$\angle ADC + \angle DAC + \angle ACD = 180^\circ$

$\angle ADC + 67^\circ + 24^\circ = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - 67^\circ - 24^\circ = 89^\circ$

$x = 35^\circ + 89^\circ = 124^\circ$

3. 最終的な答え

124°