正四面体を、ある面を底面にして置き、1つの辺を軸として3回回転させます。2回目以降は、直前にあった場所を通らないように回転させる時、以下の問いに答えてください。 (1) 転がし方の総数を求めてください。 (2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求めてください。

1. 問題の内容

正四面体を、ある面を底面にして置き、1つの辺を軸として3回回転させます。2回目以降は、直前にあった場所を通らないように回転させる時、以下の問いに答えてください。

(1) 転がし方の総数を求めてください。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 転がし方の総数

最初に底面にしている面以外の３つの面を順番に底面にすることができます。

1回目の回転では、3通りの選択肢があります。

2回目の回転では、直前にあった場所を通らないようにする必要があるので、1回目の回転で底面にしていた面以外の2つの面を選択できます。

3回目の回転でも同様に、直前にあった場所を通らないようにする必要があるので、2回目の回転で底面にしていた面以外の2つの面を選択できます。

したがって、転がし方の総数は $3 \times 2 \times 2$ で計算できます。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数

まず、正四面体の底面を固定すると、上面の頂点は3通りあります。

1回目の回転で、底面は3通りの可能性があり、それぞれについて上面の頂点が3通りあるので、3x3=9通りの位置があり得ます。

2回目の回転で、底面は2通りの可能性があり、それぞれについて上面の頂点が3通りあるので、2x3=6通りの位置があり得ます。しかし、回転のさせ方によっては同じ位置になることがあります。

3回の回転後、正四面体の位置は何通りになるかを考えます。1回目の回転で3つの異なる面が底面になりえます。2回目の回転では、直前の面以外の2つの面が底面になりえます。3回目の回転でも、直前の面以外の2つの面が底面になりえます。したがって、回転の方法は $3 \times 2 \times 2 = 12$ 通りです。

しかし、回転の方法が異なっても、最終的な位置が同じになることがあります。最初にどの面を底面にするかを固定して考えると、残りの3つの面をローテーションして底面にすることができ、それぞれの場合で2x2=4通りの回転のさせ方があります。

回転のさせ方によって、正四面体の位置が何通りになるかを考える必要があります。正四面体を3回回転させた後の位置は、全部で6通りになります。

3. 最終的な答え

(1) 転がし方の総数：12通り

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数：6通り