三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{3}$、角度$B = 45^\circ$、角度$C = 15^\circ$ であるとき、角度$A$, 辺$b$, 辺$c$を求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{3}$、角度$B = 45^\circ$、角度$C = 15^\circ$ であるとき、角度$A$, 辺$b$, 辺$c$を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180°であることから、角度$A$を求める。

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 120^\circ$

次に、正弦定理を使って辺$b$を求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3} \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{2}$

最後に、正弦定理を使って辺$c$を求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3} \sin 15^\circ}{\sin 120^\circ}$

$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$c = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot 2 = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$A = 120^\circ$

$b = 2\sqrt{2}$

$c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$