三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6}$ が成り立つとき、3辺の長さの比 BC : CA : AB を最も簡単な整数の比で表し、$\cos C$ を求め、$\triangle ABC$ の面積が $15\sqrt{7}$ のときの AB の値を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6}$ が成り立つとき、3辺の長さの比 BC : CA : AB を最も簡単な整数の比で表し、$\cos C$ を求め、$\triangle ABC$ の面積が $15\sqrt{7}$ のときの AB の値を求めます。

2. 解き方の手順

* 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$（$R$ は外接円の半径）が成り立つ。

この問題では、$a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ である。

与えられた式 $\frac{\sin A}{4} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{6} = k$（$k$ は定数）とおくと、

$\sin A = 4k$, $\sin B = 5k$, $\sin C = 6k$

したがって、

$BC : CA : AB = a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 4k : 5k : 6k = 4 : 5 : 6$

よって、$BC : CA : AB = 4 : 5 : 6$

* $\cos C$ を求める。

余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$a = 4x, b = 5x, c = 6x$ とおくと、

$\cos C = \frac{(4x)^2 + (5x)^2 - (6x)^2}{2(4x)(5x)} = \frac{16x^2 + 25x^2 - 36x^2}{40x^2} = \frac{5x^2}{40x^2} = \frac{1}{8}$

よって、$\cos C = \frac{1}{8}$

* $\triangle ABC$ の面積が $15\sqrt{7}$ のときの AB の値を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2}ab\sin C$

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ より、$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

$\sin C = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$（$\sin C > 0$ より）

$\triangle ABC = \frac{1}{2}(4x)(5x)\sin C = 10x^2 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = \frac{30\sqrt{7}}{8}x^2 = \frac{15\sqrt{7}}{4}x^2$

$\frac{15\sqrt{7}}{4}x^2 = 15\sqrt{7}$

$x^2 = 4$

$x = 2$（$x > 0$ より）

$AB = 6x = 6(2) = 12$

よって、$AB = 12$

3. 最終的な答え

BC : CA : AB = 4 : 5 : 6

$\cos C = \frac{1}{8}$

AB = 12