一辺の長さが1の正三角形ABCに、正方形 $S_1, S_2, S_3, \dots$ が順に内接している。 (1) 正方形 $S_1$ の一辺の長さを求める。 (2) n番目の正方形 $S_n$ の面積 $s_n$ を求める。 (3) これらの正方形の面積の総和 $s = s_1 + s_2 + \dots + s_n + \dots$ を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正三角形ABCに、正方形 $S_1, S_2, S_3, \dots$ が順に内接している。

(1) 正方形 $S_1$ の一辺の長さを求める。

(2) n番目の正方形 $S_n$ の面積 $s_n$ を求める。

(3) これらの正方形の面積の総和 $s = s_1 + s_2 + \dots + s_n + \dots$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正方形 $S_1$ の一辺の長さを $x$ とする。正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。正三角形ABCから、正方形$S_1$を除いた上部の小さな正三角形の高さを考える。この小さな正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2} - x$ である。この小さな正三角形は、元の正三角形と相似であり、相似比は $x:1$ である。

したがって、

$\frac{\sqrt{3}}{2} - x = \frac{\sqrt{3}}{2} x$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = x + \frac{\sqrt{3}}{2} x = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})x$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = 2\sqrt{3} - 3$

(2) $n$番目の正方形の一辺の長さを $x_n$ とする。

$x_1 = 2\sqrt{3} - 3$

$x_{n+1}$ は、相似な関係から、$x_{n+1} = x_n(2\sqrt{3}-3)$となる。よって、

$x_n = (2\sqrt{3}-3)^n$となる。

したがって、$s_n = x_n^2 = (2\sqrt{3} - 3)^{2n} = (12 - 12\sqrt{3} + 9)^n = (21 - 12\sqrt{3})^n$

$s_n = (21 - 12\sqrt{3})^n$

(3) 等比数列の和の公式を用いる。$s = \sum_{n=1}^{\infty} s_n = \sum_{n=1}^{\infty} (21 - 12\sqrt{3})^n$

これは初項 $21 - 12\sqrt{3}$、公比 $21 - 12\sqrt{3}$ の無限等比級数である。

$|21 - 12\sqrt{3}| < 1$ なので、収束する。

$s = \frac{21 - 12\sqrt{3}}{1 - (21 - 12\sqrt{3})} = \frac{21 - 12\sqrt{3}}{-20 + 12\sqrt{3}} = \frac{21 - 12\sqrt{3}}{-20 + 12\sqrt{3}} \times \frac{-20 - 12\sqrt{3}}{-20 - 12\sqrt{3}} = \frac{(21 - 12\sqrt{3})(-20 - 12\sqrt{3})}{400 - 144(3)} = \frac{-420 - 252\sqrt{3} + 240\sqrt{3} + 432}{400 - 432} = \frac{12 - 12\sqrt{3}}{-32} = \frac{3\sqrt{3} - 3}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 正方形 $S_1$ の一辺の長さ: $2\sqrt{3} - 3$

(2) n番目の正方形 $S_n$ の面積 $s_n$: $(21 - 12\sqrt{3})^n$

(3) 正方形の面積の総和 $s$: $\frac{3\sqrt{3} - 3}{8}$