$\triangle ABC$ において、$BC=7, CA=5, AB=8$ である。$\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とするとき、$AD$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$BC=7, CA=5, AB=8$ である。$\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とするとき、$AD$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を用いて、$BD$ の長さを求めます。

$\angle A$ の二等分線 $AD$ は、辺 $BC$ を $AB:AC$ の比に内分します。つまり、$BD:DC = AB:AC$ です。

$BD:DC = 8:5$ であり、$BC = 7$ であるから、

$BD = \frac{8}{8+5} \times 7 = \frac{8}{13} \times 7 = \frac{56}{13}$

$DC = \frac{5}{8+5} \times 7 = \frac{5}{13} \times 7 = \frac{35}{13}$

次に、$\triangle ABC$ において余弦定理を用いて、$\angle B$ の余弦を求めます。

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{8^2 + 7^2 - 5^2}{2 \times 8 \times 7} = \frac{64 + 49 - 25}{112} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14}$

最後に、$\triangle ABD$ において余弦定理を用いて、$AD$ の長さを求めます。$AD = x$ とおくと、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos B$

$x^2 = 8^2 + (\frac{56}{13})^2 - 2 \times 8 \times \frac{56}{13} \times \frac{11}{14}$

$x^2 = 64 + \frac{3136}{169} - \frac{16 \times 56 \times 11}{13 \times 14} = 64 + \frac{3136}{169} - \frac{8 \times 4 \times 11}{13} = 64 + \frac{3136}{169} - \frac{352}{13}$

$x^2 = \frac{64 \times 169 + 3136 - 352 \times 13}{169} = \frac{10816 + 3136 - 4576}{169} = \frac{9376}{169}$

$x = \sqrt{\frac{9376}{169}} = \frac{\sqrt{9376}}{13} = \frac{\sqrt{16 \times 586}}{13} = \frac{4\sqrt{586}}{13}$

3. 最終的な答え

$AD = \frac{4\sqrt{586}}{13}$