座標平面上に点 A(1,1) が与えられている。 (1) 直線 $y = 2x$ に関して点 A と対称な点 B の座標を求める。 (2) 直線 $y = \frac{1}{2}x$ に関して点 A と対称な点 C の座標を求める。 (3) 点 P は直線 $y = 2x$ 上にあり、点 Q は直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上にある。3 点 A, P, Q が同一直線上にないとき、三角形 APQ の周の長さを最小にする点 P, Q の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点 A(1,1) が与えられている。

(1) 直線 $y = 2x$ に関して点 A と対称な点 B の座標を求める。

(2) 直線 $y = \frac{1}{2}x$ に関して点 A と対称な点 C の座標を求める。

(3) 点 P は直線 $y = 2x$ 上にあり、点 Q は直線 $y = \frac{1}{2}x$ 上にある。3 点 A, P, Q が同一直線上にないとき、三角形 APQ の周の長さを最小にする点 P, Q の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 A(1,1) と直線 $y=2x$ に関して対称な点を B(s,t) とする。

線分 AB の中点 $((1+s)/2, (1+t)/2)$ は直線 $y=2x$ 上にあるので、

$\frac{1+t}{2} = 2 \cdot \frac{1+s}{2}$.

$1+t = 2(1+s)$.

$t = 2s + 1$.

また、直線 AB は直線 $y=2x$ と直交するので、$\frac{t-1}{s-1} = -\frac{1}{2}$.

$2(t-1) = -(s-1)$.

$2t - 2 = -s + 1$.

$2t = -s + 3$.

$t = 2s+1$ を $2t = -s+3$ に代入すると、

$2(2s+1) = -s + 3$.

$4s + 2 = -s + 3$.

$5s = 1$.

$s = \frac{1}{5}$.

$t = 2s + 1 = 2 \cdot \frac{1}{5} + 1 = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$.

よって、点 B の座標は $(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$.

(2) 点 A(1,1) と直線 $y=\frac{1}{2}x$ に関して対称な点を C(u,v) とする。

線分 AC の中点 $((1+u)/2, (1+v)/2)$ は直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にあるので、

$\frac{1+v}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1+u}{2}$.

$1+v = \frac{1}{2}(1+u)$.

$2 + 2v = 1 + u$.

$u = 2v + 1$.

また、直線 AC は直線 $y=\frac{1}{2}x$ と直交するので、$\frac{v-1}{u-1} = -2$.

$v - 1 = -2(u-1)$.

$v - 1 = -2u + 2$.

$v = -2u + 3$.

$u = 2v+1$ を $v = -2u+3$ に代入すると、

$v = -2(2v+1) + 3$.

$v = -4v - 2 + 3$.

$5v = 1$.

$v = \frac{1}{5}$.

$u = 2v + 1 = 2 \cdot \frac{1}{5} + 1 = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$.

よって、点 C の座標は $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$.

(3) AP + PQ + QA を最小化する。A(1,1) の $y=2x$ に関する対称点を B($1/5, 7/5$) 、$y=x/2$ に関する対称点を C($7/5, 1/5$) とすると、

AP + PQ + QA = BP + PQ + QC.

これらが最小になるのは B, P, Q, C が一直線上にある時である。ただし、A,P,Qが一直線上にある場合は除く。

点 P は直線 $y=2x$ 上にあるので、直線 BC と $y=2x$ の交点が点 P となる。

点 Q は直線 $y=x/2$ 上にあるので、直線 BC と $y=x/2$ の交点が点 Q となる。

直線 BC の方程式を求める。

傾きは $(1/5 - 7/5) / (7/5 - 1/5) = (-6/5) / (6/5) = -1$.

$y - 7/5 = -1(x - 1/5)$.

$y = -x + 1/5 + 7/5 = -x + 8/5$.

点 P は $y=2x$ 上にあるので、$2x = -x + 8/5$.

$3x = 8/5$.

$x = 8/15$.

$y = 2x = 16/15$.

よって、$P(8/15, 16/15)$.

点 Q は $y=x/2$ 上にあるので、$x/2 = -x + 8/5$.

$x = -2x + 16/5$.

$3x = 16/5$.

$x = 16/15$.

$y = x/2 = 8/15$.

よって、$Q(16/15, 8/15)$.

3. 最終的な答え

(1) 点 B の座標は $(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$

(2) 点 C の座標は $(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$

(3) 点 P の座標は $(\frac{8}{15}, \frac{16}{15})$ 、点 Q の座標は $(\frac{16}{15}, \frac{8}{15})$