三角形ABCにおいて、$AB = c$, $BC = a$, $CA = b$とし、$a \sin A + b \sin B = c \sin C$という関係式が成り立つとき、正弦定理を用いて$\sin A$, $\sin B$, $\sin C$を$a, b, c, R$で表し、与えられた関係式に代入することで$a, b, c$の間の関係式を求め、三角形ABCの種類を判定する問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = c$, $BC = a$, $CA = b$とし、$a \sin A + b \sin B = c \sin C$という関係式が成り立つとき、正弦定理を用いて$\sin A$, $\sin B$, $\sin C$を$a, b, c, R$で表し、与えられた関係式に代入することで$a, b, c$の間の関係式を求め、三角形ABCの種類を判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

したがって、

$\sin A = \frac{a}{2R}$

$\sin B = \frac{b}{2R}$

$\sin C = \frac{c}{2R}$

これらを$a \sin A + b \sin B = c \sin C$に代入すると、

$a \cdot \frac{a}{2R} + b \cdot \frac{b}{2R} = c \cdot \frac{c}{2R}$

両辺に$2R$を掛けると、

$a^2 + b^2 = c^2$

したがって、三角形ABCは$C$を直角とする直角三角形です。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{a}{2R}$

イ: $\frac{b}{2R}$

ウ: $\frac{c}{2R}$

エ: $a^2 + b^2 = c^2$

オ: Cを直角とする直角三角形