4点 $A(3, -2, 0)$, $B(4, -1, 0)$, $C(1, 1, -1)$, $D(x, 1-x, -1)$ が同一平面上にあるとき、$x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

4点 $A(3, -2, 0)$, $B(4, -1, 0)$, $C(1, 1, -1)$, $D(x, 1-x, -1)$ が同一平面上にあるとき、$x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

4点が同一平面上にあるということは、ベクトル $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ が線形従属である、つまり、これらのベクトルで作られる行列の行列式が0になることを意味します。

まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ を求めます。

$\overrightarrow{AB} = B - A = (4-3, -1-(-2), 0-0) = (1, 1, 0)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (1-3, 1-(-2), -1-0) = (-2, 3, -1)$

$\overrightarrow{AD} = D - A = (x-3, 1-x-(-2), -1-0) = (x-3, 3-x, -1)$

次に、これらのベクトルで作られる行列の行列式を計算します。

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\begin{vmatrix}

1 & 1 & 0 \\

-2 & 3 & -1 \\

x-3 & 3-x & -1

\end{vmatrix} = 0

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行列式を計算します。

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1 \cdot \begin{vmatrix}

3 & -1 \\

3-x & -1

\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}

-2 & -1 \\

x-3 & -1

\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}

-2 & 3 \\

x-3 & 3-x

\end{vmatrix} = 0

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1 \cdot (3(-1) - (-1)(3-x)) - 1 \cdot ((-2)(-1) - (-1)(x-3)) = 0

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1 \cdot (-3 + 3 - x) - 1 \cdot (2 + x - 3) = 0

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-x - (x - 1) = 0

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-x - x + 1 = 0

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-2x + 1 = 0

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2x = 1

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x = \frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}$