3次元極座標におけるベクトルの変化に関する問題です。 (1) $\theta$ と $\phi$ を固定し、$r$ のみを微小量 $\Delta r$ 変化させたときのベクトル $n_r$ を求める。 (2) $r$ と $\phi$ を固定し、$\theta$ のみを微小量 $\Delta \theta$ 変化させたときのベクトル $n_\theta$ を求める。 (3) $r$ と $\theta$ を一定にし、$\phi$ を $0 \le \phi \le 2\pi$ 変化させると、ある $\theta$ で決まる緯度上を緯線に沿って一周することになる。このときの半径は $r\sin\theta$ になることを示す。 (4) $\phi$ を微小角度 $\Delta\phi$ 変化させたときのベクトル $n_\phi$ を求める。

1. 問題の内容

3次元極座標におけるベクトルの変化に関する問題です。

(1) $\theta$ と $\phi$ を固定し、$r$ のみを微小量 $\Delta r$ 変化させたときのベクトル $n_r$ を求める。

(2) $r$ と $\phi$ を固定し、$\theta$ のみを微小量 $\Delta \theta$ 変化させたときのベクトル $n_\theta$ を求める。

(3) $r$ と $\theta$ を一定にし、$\phi$ を $0 \le \phi \le 2\pi$ 変化させると、ある $\theta$ で決まる緯度上を緯線に沿って一周することになる。このときの半径は $r\sin\theta$ になることを示す。

(4) $\phi$ を微小角度 $\Delta\phi$ 変化させたときのベクトル $n_\phi$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n_r = (\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z})$ を求める。

$x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$ より、

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ なので、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r} = \sin\theta\cos\phi$

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{r} = \sin\theta\sin\phi$

$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{z}{r} = \cos\theta$

よって、$n_r = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$

(2) $n_\theta = (r\frac{\partial \theta}{\partial x}, r\frac{\partial \theta}{\partial y}, r\frac{\partial \theta}{\partial z})$ を求める。

$\theta = \arccos(\frac{z}{r}) = \arccos(\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}})$ なので、

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{z x}{r^2\sqrt{r^2-z^2}} = \frac{z x}{r^2 r\sin\theta} = \frac{r\cos\theta r\sin\theta\cos\phi}{r^3\sin\theta} = \frac{\cos\theta\cos\phi}{r}$

$\frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{z y}{r^2\sqrt{r^2-z^2}} = \frac{z y}{r^2 r\sin\theta} = \frac{r\cos\theta r\sin\theta\sin\phi}{r^3\sin\theta} = \frac{\cos\theta\sin\phi}{r}$

$\frac{\partial \theta}{\partial z} = -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r^2} = -\frac{r\sin\theta}{r^2} = -\frac{\sin\theta}{r}$

よって、$n_\theta = (\cos\theta\cos\phi, \cos\theta\sin\phi, -\sin\theta)$

(3) $\phi$ を $0 \le \phi \le 2\pi$ 変化させるとき、$x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$ は円を描き、zは定数 $r\cos\theta$ となる。

$x^2 + y^2 = (r\sin\theta\cos\phi)^2 + (r\sin\theta\sin\phi)^2 = r^2\sin^2\theta(\cos^2\phi + \sin^2\phi) = r^2\sin^2\theta$

よって、半径は $\sqrt{x^2 + y^2} = r\sin\theta$ である。

(4) $n_\phi = (r\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial x}, r\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial y}, r\sin\theta\frac{\partial \phi}{\partial z})$ を求める。

$\phi = \arctan(\frac{y}{x})$ なので、

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2} = \frac{-r\sin\theta\sin\phi}{r^2\sin^2\theta} = -\frac{\sin\phi}{r\sin\theta}$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{r\sin\theta\cos\phi}{r^2\sin^2\theta} = \frac{\cos\phi}{r\sin\theta}$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 0$

よって、$n_\phi = (-\sin\phi, \cos\phi, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $n_r = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$

(2) $n_\theta = (\cos\theta\cos\phi, \cos\theta\sin\phi, -\sin\theta)$

(3) 半径は $r\sin\theta$ である。

(4) $n_\phi = (-\sin\phi, \cos\phi, 0)$