円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線の方程式と接点の座標を求める問題です。ただし、接線は以下の2つの条件を満たします。 (1) 直線 $x+y=1$ に平行 (2) 直線 $7x+y=-2$ に垂直

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 50$ の接線の方程式と接点の座標を求める問題です。ただし、接線は以下の2つの条件を満たします。

(1) 直線 $x+y=1$ に平行

(2) 直線 $7x+y=-2$ に垂直

2. 解き方の手順

(1) 直線 $x+y=1$ に平行な接線を求める。

直線 $x+y=1$ の傾きは $-1$ なので、求める接線の傾きも $-1$ である。よって、接線の方程式は $y = -x + k$ と表せる。これを円の方程式に代入する。

$x^2 + (-x + k)^2 = 50$

$x^2 + x^2 - 2kx + k^2 = 50$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 50 = 0$

接するためには、この二次方程式が重解を持つ必要がある。したがって、判別式 $D = 0$ を満たす必要がある。

$D/4 = (-k)^2 - 2(k^2 - 50) = k^2 - 2k^2 + 100 = -k^2 + 100 = 0$

$k^2 = 100$

$k = \pm 10$

したがって、接線の方程式は $y = -x \pm 10$。すなわち、$x+y=10$と$x+y=-10$である。

接点を求める。

$x+y=10$のとき、$y=10-x$を円の方程式に代入すると、

$2x^2 - 20x + 50 = 0$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x-5)^2 = 0$

$x=5$

このとき、$y = 10 - 5 = 5$

したがって、接点は $(5,5)$。

$x+y=-10$のとき、$y=-10-x$を円の方程式に代入すると、

$2x^2 + 20x + 50 = 0$

$x^2 + 10x + 25 = 0$

$(x+5)^2 = 0$

$x=-5$

このとき、$y = -10 - (-5) = -5$

したがって、接点は $(-5,-5)$。

(2) 直線 $7x+y=-2$ に垂直な接線を求める。

直線 $7x+y=-2$ の傾きは $-7$ なので、求める接線の傾きは $\frac{1}{7}$ である。よって、接線の方程式は $y = \frac{1}{7}x + l$ と表せる。これを円の方程式に代入する。

$x^2 + (\frac{1}{7}x + l)^2 = 50$

$x^2 + \frac{1}{49}x^2 + \frac{2}{7}lx + l^2 = 50$

$\frac{50}{49}x^2 + \frac{2}{7}lx + l^2 - 50 = 0$

接するためには、この二次方程式が重解を持つ必要がある。したがって、判別式 $D = 0$ を満たす必要がある。

$D/4 = (\frac{1}{7}l)^2 - \frac{50}{49}(l^2 - 50) = \frac{1}{49}l^2 - \frac{50}{49}l^2 + \frac{50 \times 50}{49} = -\frac{49}{49}l^2 + \frac{2500}{49} = 0$

$l^2 = \frac{2500}{49}$

$l = \pm \frac{50}{7}$

したがって、接線の方程式は $y = \frac{1}{7}x \pm \frac{50}{7}$。すなわち、$x-7y = -50$と$x-7y=50$である。

接点を求める。

$x-7y = -50$のとき、$x = 7y - 50$を円の方程式に代入すると、

$(7y - 50)^2 + y^2 = 50$

$49y^2 - 700y + 2500 + y^2 = 50$

$50y^2 - 700y + 2450 = 0$

$y^2 - 14y + 49 = 0$

$(y - 7)^2 = 0$

$y = 7$

このとき、$x = 7(7) - 50 = 49 - 50 = -1$

したがって、接点は $(-1,7)$。

$x-7y = 50$のとき、$x = 7y + 50$を円の方程式に代入すると、

$(7y + 50)^2 + y^2 = 50$

$49y^2 + 700y + 2500 + y^2 = 50$

$50y^2 + 700y + 2450 = 0$

$y^2 + 14y + 49 = 0$

$(y + 7)^2 = 0$

$y = -7$

このとき、$x = 7(-7) + 50 = -49 + 50 = 1$

したがって、接点は $(1,-7)$。

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $x+y=10$, 接点: $(5,5)$

接線の方程式: $x+y=-10$, 接点: $(-5,-5)$

(2) 接線の方程式: $x-7y=-50$, 接点: $(-1,7)$

接線の方程式: $x-7y=50$, 接点: $(1,-7)$