正弦定理を用いて、与えられた三角形の要素から未知の要素を求める問題です。具体的には以下の5つの小問題があります。 (1) $a=5$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$b$を求めよ。 (2) $b=4\sqrt{6}$, $B=60^\circ$, $C=45^\circ$のとき、$c$を求めよ。 (3) $c=2\sqrt{2}$, $A=120^\circ$, $B=15^\circ$のとき、$a$を求めよ。 (4) $a=2$, $b=\sqrt{3}$, $A=60^\circ$のとき、$\sin B$を求めよ。 (5) $b=3$, $c=\sqrt{10}$, $B=45^\circ$のとき、$\sin C$を求めよ。

1. 問題の内容

正弦定理を用いて、与えられた三角形の要素から未知の要素を求める問題です。具体的には以下の5つの小問題があります。

(1) $a=5$, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$のとき、$b$を求めよ。

(2) $b=4\sqrt{6}$, $B=60^\circ$, $C=45^\circ$のとき、$c$を求めよ。

(3) $c=2\sqrt{2}$, $A=120^\circ$, $B=15^\circ$のとき、$a$を求めよ。

(4) $a=2$, $b=\sqrt{3}$, $A=60^\circ$のとき、$\sin B$を求めよ。

(5) $b=3$, $c=\sqrt{10}$, $B=45^\circ$のとき、$\sin C$を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理は、三角形ABCにおいて、以下の関係が成り立つというものです。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

(1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。与えられた値を代入すると、$\frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$。

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、$\frac{5}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$。

$10 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$より、$b = 5\sqrt{2}$。

(2) 正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。与えられた値を代入すると、$\frac{4\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ}$。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、$\frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$。

$\frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{2c}{\sqrt{2}}$より、$8\sqrt{2} = \frac{2c}{\sqrt{2}}$。したがって、$c = 8$。

(3) $C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (120^\circ + 15^\circ) = 45^\circ$。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$。与えられた値を代入すると、$\frac{a}{\sin 120^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$。

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$。

$\frac{2a}{\sqrt{3}} = 4$より、$a = 2\sqrt{3}$。

(4) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。与えられた値を代入すると、$\frac{2}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B}$。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B}$。

$\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B}$より、$\sin B = \frac{3}{4}$。

(5) 正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。与えられた値を代入すると、$\frac{3}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{10}}{\sin C}$。

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、$\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sin C}$。

$\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{\sin C}$より、$\sin C = \frac{\sqrt{10}\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{20}}{6} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $b = 5\sqrt{2}$

(2) $c = 8$

(3) $a = 2\sqrt{3}$

(4) $\sin B = \frac{3}{4}$

(5) $\sin C = \frac{\sqrt{5}}{3}$