PからQまで、遠回りをせずに進む道順の総数を求める問題です。 (1) Rを通る場合、(2) ×印の箇所を通らない場合、(3) Rを通りかつ×印の箇所を通らない場合のそれぞれの道順の総数を求めます。

1. 問題の内容

PからQまで、遠回りをせずに進む道順の総数を求める問題です。

(1) Rを通る場合、(2) ×印の箇所を通らない場合、(3) Rを通りかつ×印の箇所を通らない場合のそれぞれの道順の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) Rを通る場合

PからRまでの道順の数と、RからQまでの道順の数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。

PからRまでの道順の数は、図から10通りです。

RからQまでは、右に2回、下に1回進む必要があります。したがって、道順の数は$_{3}C_{1}$ = 3通りです。

よって、Rを通る道順の総数は、10 * 3 = 30通りです。

(2) ×印の箇所を通らない場合

まず、PからQまでのすべての道順の数を求めます。

PからQまでは、右に4回、下に3回進む必要があります。したがって、道順の総数は$_{7}C_{3}$ = 35通りです。

次に、×印の箇所を通る道順の数を求めます。

Pから×印の箇所までの道順は、図からPからRまでの道順と同じように考えると 4 + (3+1) = 4+4 = 8。

Rから×印の箇所までは、1通り。

なので、Pから×印の箇所までは 4 * 1 + 3 * 1 = 7通り。

×印の箇所からQまでは、右に1回、下に1回進む必要があります。したがって、道順の数は$_{2}C_{1}$ = 2通りです。

よって、×印の箇所を通る道順の総数は、4 * 2 = 8通りです。

したがって、×印の箇所を通らない道順の総数は、35 - 8 = 27通りです。

(3) Rを通り、×印の箇所は通らない場合

(1)で求めたRを通る道順の数から、Rを通りかつ×印の箇所を通る道順の数を引きます。

Rから×印の箇所までは、図より1通りです。

×印の箇所からQまでの道順の数は、(2)で求めたように2通りです。

したがって、Rを通りかつ×印の箇所を通る道順の総数は、10 * 1 * 2 = 2通りです。

よって、Rを通り、×印の箇所を通らない道順の総数は、30 - (1 *2 * 4) = 22通りです。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 27通り

(3) 22通り