次の2次不等式を解け。 (1) $x^2 - 4x + 6 > 0$ (2) $x^2 - 2x + 2 \le 0$ (3) $2x^2 + 4x + 3 < 0$ (4) $2x^2 + 8x + 10 \ge 0$

1. 問題の内容

次の2次不等式を解け。

(1) $x^2 - 4x + 6 > 0$

(2) $x^2 - 2x + 2 \le 0$

(3) $2x^2 + 4x + 3 < 0$

(4) $2x^2 + 8x + 10 \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x + 6 > 0$

平方完成すると、

$x^2 - 4x + 6 = (x-2)^2 - 4 + 6 = (x-2)^2 + 2$

$(x-2)^2 \ge 0$ より、$(x-2)^2 + 2 \ge 2 > 0$

したがって、すべての実数 $x$ で不等式が成り立つ。

(2) $x^2 - 2x + 2 \le 0$

平方完成すると、

$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 - 1 + 2 = (x-1)^2 + 1$

$(x-1)^2 \ge 0$ より、$(x-1)^2 + 1 \ge 1 > 0$

したがって、$x^2 - 2x + 2 \le 0$ を満たす実数 $x$ は存在しない。

(3) $2x^2 + 4x + 3 < 0$

$2x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 + 2x) + 3 = 2((x+1)^2 - 1) + 3 = 2(x+1)^2 - 2 + 3 = 2(x+1)^2 + 1$

$2(x+1)^2 \ge 0$ より、$2(x+1)^2 + 1 \ge 1 > 0$

したがって、$2x^2 + 4x + 3 < 0$ を満たす実数 $x$ は存在しない。

(4) $2x^2 + 8x + 10 \ge 0$

$2x^2 + 8x + 10 = 2(x^2 + 4x) + 10 = 2((x+2)^2 - 4) + 10 = 2(x+2)^2 - 8 + 10 = 2(x+2)^2 + 2$

$2(x+2)^2 \ge 0$ より、$2(x+2)^2 + 2 \ge 2 > 0$

したがって、すべての実数 $x$ で不等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) すべての実数

(2) 解なし

(3) 解なし

(4) すべての実数