$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の(1)の方程式と(2)の不等式を解く。 (1) $2\sin^2\theta - \sqrt{2}\cos\theta = 0$ (2) $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 > 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、次の(1)の方程式と(2)の不等式を解く。

(1) $2\sin^2\theta - \sqrt{2}\cos\theta = 0$

(2) $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 > 0$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて、方程式を $\cos\theta$ で表す。

$2(1-\cos^2\theta) - \sqrt{2}\cos\theta = 0$

$2 - 2\cos^2\theta - \sqrt{2}\cos\theta = 0$

$2\cos^2\theta + \sqrt{2}\cos\theta - 2 = 0$

$\cos\theta = t$ とおくと、$2t^2 + \sqrt{2}t - 2 = 0$

解の公式より

$t = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 16}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4}$

$t = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $t = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $\cos\theta = -\sqrt{2}$

$-1 \le \cos\theta \le 1$ より、$\cos\theta = -\sqrt{2}$ は不適。

$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(2)

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、不等式を $\sin\theta$ で表す。

$2(1 - \sin^2\theta) + \sqrt{3}\sin\theta + 1 > 0$

$2 - 2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 > 0$

$-2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 3 > 0$

$2\sin^2\theta - \sqrt{3}\sin\theta - 3 < 0$

$\sin\theta = s$ とおくと、$2s^2 - \sqrt{3}s - 3 < 0$

$(2s + \sqrt{3})(s - \sqrt{3}) < 0$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} < s < \sqrt{3}$

$-1 \le \sin\theta \le 1$ より、$-\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin\theta \le 1$

$\sin\theta > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ は、$-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{4\pi}{3}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で考えると、

$0 \le \theta < \frac{4\pi}{3}$ かつ $\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

したがって、$\theta$ の範囲は、$0 \le \theta < \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(2) $0 \le \theta < \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$