$a = \log_3 3$、 $b = \log_3 5$とするとき、$\log_3 60$を$a$、$b$で表す問題です。

1. 問題の内容

$a = \log_3 3$、 $b = \log_3 5$とするとき、$\log_3 60$を$a$、$b$で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\log_3 60$を素因数分解して表します。

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$ なので、

$\log_3 60 = \log_3 (2^2 \times 3 \times 5)$

となります。

対数の性質を用いて、積の形を和の形に分解します。

$\log_3 60 = \log_3 (2^2) + \log_3 3 + \log_3 5$

さらに、$\log_3 (2^2) = 2\log_3 2$となります。問題文より$\log_3 3 = a$、$\log_3 5 = b$なので、

$\log_3 60 = 2\log_3 2 + a + b$

$\log_3 2$を求めるために、$\log_3 10 = \log_3 (2 \times 5) = \log_3 2 + \log_3 5$を利用します。

$\log_3 10$を計算するため、底の変換公式を用いて$\log_3 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 3} = \frac{1}{\log_{10} 3}$となりますが、これでは問題が解けません。

$\log_3 2$を求めるために、$a=\log_3 3 = 1$であることから、$3 = 3^1$という関係を利用して$\log_3 60$の式を変形します。

$\log_3 60 = \log_3(4 \times 3 \times 5) = \log_3 4 + \log_3 3 + \log_3 5 = \log_3 2^2 + a + b = 2 \log_3 2 + a + b$

ここで、3と5を用いて2を表すことができないため、別の方法を検討します。問題文に誤りがあると仮定して、$\log_3 10$ではなく$\log_3 6$を求めることを考えます。

もし、$\log_3 60$ではなく、$\log_3 6$をa, bで表す問題であるならば、$\log_3 6 = \log_3(2 \times 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 2 + a$となります。しかし、$\log_3 2$は$\log_3 3$、$\log_3 5$から導出できないので、問題文に誤りがある可能性が高いです。

あるいは、$a=\log_3 2$、$b = \log_3 5$であるならば、$\log_3 60 = \log_3 (2^2 \times 3 \times 5) = \log_3 2^2 + \log_3 3 + \log_3 5 = 2\log_3 2 + 1 + \log_3 5 = 2a + 1 + b$

3. 最終的な答え

問題文が$a = \log_3 2$、$b = \log_3 5$の場合、$2a + b + 1$

問題文が$a = \log_3 3$、$b = \log_3 5$の場合、2a+b+1とはならない。

問題文に誤りがあると判断し、a=log3(2)、b=log3(5)と仮定した場合の答えを記載します。

$2a+b+1$