$x>0$, $y>0$, $x+2y=4$ のとき、$\log_{10} x + \log_{10} y$ の最大値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x>0$, $y>0$, $x+2y=4$ のとき、$\log_{10} x + \log_{10} y$ の最大値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\log_{10} x + \log_{10} y = \log_{10} (xy)$ である。

したがって、$xy$ の最大値を求めればよい。

$x+2y = 4$ より、$x = 4-2y$ である。

これを $xy$ に代入すると、

$xy = (4-2y)y = 4y-2y^2 = -2(y^2-2y) = -2(y^2 - 2y + 1 - 1) = -2((y-1)^2 - 1) = -2(y-1)^2 + 2$

$x>0$ より、$4-2y > 0$ なので、$2y < 4$, よって、$y < 2$

また、$y > 0$ なので、$0 < y < 2$ である。

$-2(y-1)^2 + 2$ は、$y=1$ のとき最大値 2 をとる。

このとき、$0<y<2$ の範囲にあるので、最大値は $y=1$ のとき実現される。

$y=1$ のとき、$x = 4-2(1) = 4-2 = 2$ である。

よって、$x=2, y=1$ のとき、$xy$ は最大値 2 をとる。

$\log_{10} x + \log_{10} y = \log_{10} (xy)$ の最大値は、$\log_{10} 2$ である。

3. 最終的な答え

$\log_{10} x + \log_{10} y$ の最大値は $\log_{10} 2$ であり、そのときの $x, y$ の値は $x=2, y=1$ である。