$a>0$ のとき、$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a^{\boxed{?}}$ の $\boxed{?}$ に当てはまる数を求める問題です。

1. 問題の内容

$a>0$ のとき、$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a^{\boxed{?}}$ の $\boxed{?}$ に当てはまる数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号を指数で表します。

$\sqrt[3]{a^3} = (a^3)^{\frac{1}{3}} = a^{3 \times \frac{1}{3}} = a^1 = a$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[6]{a^5} = (a^5)^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$

したがって、

$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a \times a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{5}{6}}$

指数法則より、$a^m \times a^n = a^{m+n}$ 、$a^m \div a^n = a^{m-n}$ であるから、

$a \times a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{5}{6}} = a^{1 + \frac{1}{2} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{6}{6} + \frac{3}{6} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{6+3-5}{6}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}$

問題文より、$a^{\frac{2}{3}} = a$ であるから、$\frac{2}{3} = 1$ となる必要がありますが、これは成り立ちません。問題文に間違いがあると仮定して、$a^{\frac{2}{3}}$ になる場合、$a^{\boxed{\frac{2}{3}}}$となります。

問題文では$a$になっているので、計算をもう一度見直します。

$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a \times a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{5}{6}} = a^{1 + \frac{1}{2} - \frac{5}{6}}$

$= a^{\frac{6+3-5}{6}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}$

問題文が $\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a^x$ となっている場合、$x = \frac{2}{3}$です。

しかし、問題文の右辺は $a$ となっているので、問題文を修正する必要がありそうです。

$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a^1$

$a^{\frac{2}{3}} = a^1$

どうやら問題文が間違っているようです。空欄に当てはまる数を求めるという問題なので、以下のように考えます。

$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a$

$a^{1 + \frac{1}{2} - \frac{5}{6}} = a$

$a^{\frac{4}{6}} = a$

$a^{\frac{2}{3}} = a^1$

$\frac{2}{3} = 1$ となって矛盾するため、等式は成立しません。問題文に誤りがある可能性があります。

しかし、問題文の指示通り、$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a^{\boxed{?}}$ の $\boxed{?}$ を求めることに集中すると、

$\sqrt[3]{a^3} \times \sqrt{a} \div \sqrt[6]{a^5} = a \times a^{1/2} \div a^{5/6} = a^{1 + 1/2 - 5/6} = a^{(6+3-5)/6} = a^{4/6} = a^{2/3}$

したがって、空欄に当てはまる数は $\frac{2}{3}$ です。

3. 最終的な答え

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