2次方程式 $2x^2 + 6x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha^2}$ と $\frac{1}{\beta^2}$ を解とする2次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 6x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha^2}$ と $\frac{1}{\beta^2}$ を解とする2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

元の2次方程式 $2x^2 + 6x + 1 = 0$ について、解と係数の関係から $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を求める。

解と係数の関係より、

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\alpha + \beta = -\frac{6}{2} = -3

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\alpha\beta = \frac{1}{2}

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次に、求める2次方程式の解 $\frac{1}{\alpha^2}$ と $\frac{1}{\beta^2}$ の和と積を計算する。

$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$ は次のように変形できる。

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\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}

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上記で求めた $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を代入する。

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\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{(-3)^2 - 2(\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{9 - 1}{\frac{1}{4}} = \frac{8}{\frac{1}{4}} = 32

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$\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2}$ は次のように変形できる。

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\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = \frac{1}{(\alpha\beta)^2}

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上記で求めた $\alpha\beta$ の値を代入する。

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\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4

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$\frac{1}{\alpha^2}$ と $\frac{1}{\beta^2}$ を解とする2次方程式は、解と係数の関係から、

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x^2 - (\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2})x + \frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{1}{\beta^2} = 0

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となる。

上記で求めた $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = 32$ と $\frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{1}{\beta^2} = 4$ を代入すると、

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x^2 - 32x + 4 = 0

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となる。

3. 最終的な答え

$x^2 - 32x + 4 = 0$