実数 $a$ に対して、$f(x) = x^2 - 2(3a^2+5a)x + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$ とおく。$a$ が実数全体を動くとき、2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$f(x) = x^2 - 2(3a^2+5a)x + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$ とおく。$a$ が実数全体を動くとき、2次関数 $y=f(x)$ のグラフの頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y=f(x)$ を平方完成させる。

$f(x) = (x - (3a^2+5a))^2 - (3a^2+5a)^2 + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16$

よって、頂点の座標は $(3a^2+5a, -(3a^2+5a)^2 + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16)$ である。

頂点の $y$ 座標を $g(a)$ とおくと、

$g(a) = - (9a^4 + 30a^3 + 25a^2) + 18a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 16 = 9a^4 + 24a^2 + 16$

ア=3, イ=5

ウ=9, エオ=24, カキ=16

$t=a^2$ とおくと、$g(a) = 9t^2 + 24t + 16$ となる。

花子の言う通り、$9t^2+24t+16$ について考えればよい。

$9t^2+24t+16 = (3t)^2 + 2(3t)(4) + 4^2 = (3t+4)^2 = (3a^2+4)^2$

ここで、$a^2 \geq 0$ より、$3a^2+4 \geq 4$ であるから、$(3a^2+4)^2 \geq 16$ となる。

よって、$g(a)$ の最小値は $16$ である。

最小値をとるのは $3a^2+4=4$ のときなので、$a^2=0$ より、$a=0$ である。

3. 最終的な答え

(1) ア=3, イ=5, ウ=9, エオ=24, カキ=16

(2) クケ=16, コ=0