与えられた等比数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。2つの数列があり、それぞれについて計算します。 (1) -5, 10, -20, 40, ... (2) 8, 4, 2, 1, ...

1. 問題の内容

与えられた等比数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。2つの数列があり、それぞれについて計算します。

(1) -5, 10, -20, 40, ...

(2) 8, 4, 2, 1, ...

2. 解き方の手順

(1) の数列について:

初項 $a = -5$、公比 $r = -2$ です。

一般項 $a_n$ は $a_n = a \cdot r^{n-1}$ で求められます。したがって、$a_n = -5 \cdot (-2)^{n-1}$ となります。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ で求められます。したがって、$S_n = \frac{-5(1-(-2)^n)}{1-(-2)} = \frac{-5(1-(-2)^n)}{3}$ となります。

(2) の数列について:

初項 $a = 8$、公比 $r = \frac{1}{2}$ です。

一般項 $a_n$ は $a_n = a \cdot r^{n-1}$ で求められます。したがって、$a_n = 8 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ となります。

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ で求められます。したがって、$S_n = \frac{8(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{8(1-(\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}} = 16(1-(\frac{1}{2})^n)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) の数列:

一般項: $a_n = -5 \cdot (-2)^{n-1}$

初項から第 $n$ 項までの和: $S_n = \frac{-5(1-(-2)^n)}{3}$

(2) の数列:

一般項: $a_n = 8 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

初項から第 $n$ 項までの和: $S_n = 16(1-(\frac{1}{2})^n)$