第2項が24, 第4項が6である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は正の数とする。

1. 問題の内容

第2項が24, 第4項が6である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は正の数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比です。

問題文より、第2項が24、第4項が6であるので、以下の2つの式が得られます。

$a r = 24$ (1)

$a r^3 = 6$ (2)

(2)式を(1)式で割ると、

$\frac{a r^3}{a r} = \frac{6}{24}$

$r^2 = \frac{1}{4}$

公比は正の数なので、$r = \frac{1}{2}$ となります。

これを(1)式に代入すると、

$a \cdot \frac{1}{2} = 24$

$a = 48$

したがって、一般項は $a_n = 48 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ となります。

これは、$a_n = 48 \cdot 2^{1-n}$ とも書けます。

3. 最終的な答え

$a_n = 48 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ または $a_n = 48 \cdot 2^{1-n}$