等差数列 $\{a_n\}$ において、第3項が5、第9項が8であるとき、一般項 $a_n$ を求め、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ において、第3項が5、第9項が8であるとき、一般項 $a_n$ を求め、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

* 第3項が5であることから、$a_3 = a + 2d = 5$。

* 第9項が8であることから、$a_9 = a + 8d = 8$。

この2つの式を連立方程式として解く。

$a + 8d = 8$

$a + 2d = 5$

上の式から下の式を引くと、

$6d = 3$

$d = \frac{1}{2}$

$d = \frac{1}{2}$ を $a + 2d = 5$ に代入すると、

$a + 2(\frac{1}{2}) = 5$

$a + 1 = 5$

$a = 4$

よって、初項 $a = 4$、公差 $d = \frac{1}{2}$ であるから、一般項は

$a_n = 4 + (n-1)\frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{2}n - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}n + \frac{7}{2}$

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ である。

$a_1 = 4$ であり、$a_n = \frac{1}{2}n + \frac{7}{2}$ であるから、

$S_n = \frac{n}{2} (4 + \frac{1}{2}n + \frac{7}{2}) = \frac{n}{2} (\frac{8}{2} + \frac{1}{2}n + \frac{7}{2}) = \frac{n}{2} (\frac{1}{2}n + \frac{15}{2}) = \frac{n(n + 15)}{4}$

3. 最終的な答え

一般項: $a_n = \frac{1}{2}n + \frac{7}{2}$

初項から第n項までの和: $S_n = \frac{n(n + 15)}{4} = \frac{n^2 + 15n}{4}$