与えられた不等式 $|x+2| > 3x$ を解きます。絶対値を含む不等式を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|x+2| > 3x$ を解きます。絶対値を含む不等式を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式は、絶対値の中身が正の場合と負の場合に分けて考えます。

(i) $x+2 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq -2$ のとき

絶対値はそのまま外せるので、$x+2 > 3x$ となります。これを解くと、

$x+2 > 3x$

$2 > 2x$

$1 > x$

つまり、$x < 1$ となります。

$x \geq -2$ と $x < 1$ の共通範囲は、$-2 \leq x < 1$ です。

(ii) $x+2 < 0$ のとき、つまり $x < -2$ のとき

絶対値を外すときに符号を反転させるので、$-(x+2) > 3x$ となります。これを解くと、

$-x-2 > 3x$

$-2 > 4x$

$-\frac{1}{2} > x$

つまり、$x < -\frac{1}{2}$ となります。

$x < -2$ と $x < -\frac{1}{2}$ の共通範囲は、$x < -2$ です。

(i)と(ii)の結果を合わせると、$x < -2$ または $-2 \leq x < 1$ となり、$x < 1$ となります。

不等式の右辺が $3x$ なので、$3x \geq 0$, つまり $x \geq 0$ の場合、 $|x+2|$ は常に正なので、不等式は常に成り立ちます。ただし、$x+2$ が負になる場合は考慮が必要です。$x \geq 0$ のとき、$x+2>0$なので、$x+2 > 3x$ より $2 > 2x$ つまり $x < 1$。よって、$0 \leq x < 1$ です。

$x<0$ のとき、$x+2 > 0$ と $x+2 < 0$ に場合分けします。

(i) $x+2 > 0$ のとき、$-2 < x < 0$ なので、$x+2 > 3x$ となり、$2 > 2x$, $x < 1$。 $-2 < x < 0$ と $x < 1$ より、$-2 < x < 0$ となります。

(ii) $x+2 < 0$ のとき、$x < -2$ なので、$-(x+2) > 3x$ となり、$-x-2 > 3x$, $-2 > 4x$, $x < -1/2$。$x < -2$ と $x < -1/2$ より、$x < -2$ となります。

したがって、$x < -2$, $-2 < x < 0$, $0 \leq x < 1$ を合わせると、$x < 1$。

また、$3x < 0$ つまり $x < 0$ の場合を考えると、$|x+2| > 3x$ は常に成り立ちます。ただし、$x+2 < 0$ の場合は、$x+2 > 3x$とはならないので、$x < -2$ の場合を検討する必要があります。

$x < 1$

3. 最終的な答え

$x < 1$