$a + b = 2$ かつ $a^3 + b^3 = 38$ のとき、$ab$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a + b = 2$ かつ $a^3 + b^3 = 38$ のとき、$ab$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a^3 + b^3$ を因数分解します。

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

$a + b = 2$ と $a^3 + b^3 = 38$ を代入すると、

$$38 = 2(a^2 - ab + b^2)$$

$$19 = a^2 - ab + b^2$$

次に、$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ を利用します。$a + b = 2$ なので、

$$(a + b)^2 = 2^2 = 4$$

$$a^2 + 2ab + b^2 = 4$$

ここで、$a^2 - ab + b^2 = 19$ を変形すると、

$$a^2 + b^2 = 19 + ab$$

これを $a^2 + 2ab + b^2 = 4$ に代入すると、

$$19 + ab + 2ab = 4$$

$$3ab = 4 - 19$$

$$3ab = -15$$

$$ab = -5$$

3. 最終的な答え

$ab = -5$