2次方程式 $2x^2 + 6x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha^2}$ と $\frac{1}{\beta^2}$ を解とする2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 6x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha^2}$ と $\frac{1}{\beta^2}$ を解とする2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $2x^2 + 6x + 1 = 0$ に対して、解と係数の関係を用いると、

$\alpha + \beta = -\frac{6}{2} = -3$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

となる。

次に、求める2次方程式の2つの解 $\frac{1}{\alpha^2}$ と $\frac{1}{\beta^2}$ の和と積を計算する。

$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2 \beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$

$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{(-3)^2 - 2(\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{9 - 1}{\frac{1}{4}} = \frac{8}{\frac{1}{4}} = 32$

$\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = \frac{1}{(\alpha \beta)^2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$

したがって、$\frac{1}{\alpha^2}$ と $\frac{1}{\beta^2}$ を解とする2次方程式は、

$x^2 - (\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2})x + \frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = 0$

$x^2 - 32x + 4 = 0$

係数を整数にするために、2次方程式を $ax^2 + bx + c = 0$ の形にすると、$a=1$ のとき、$x^2 - 32x + 4 = 0$ となる。

3. 最終的な答え

$x^2 - 32x + 4 = 0$