この問題は、高校数学の様々な問題を含んでいます。具体的には、放物線の平行移動、対称移動、最大値・最小値、および条件を満たす定数の決定に関する問題です。

1. 問題の内容

この問題は、高校数学の様々な問題を含んでいます。具体的には、放物線の平行移動、対称移動、最大値・最小値、および条件を満たす定数の決定に関する問題です。

2. 解き方の手順

以下、各問題について解き方の手順を説明します。

問題1：放物線 $y=x^2+4x+3$ はどのように平行移動すると放物線 $y=x^2-8x-10$ に重なるか。

* 平方完成を行い、それぞれの放物線の頂点を求める。

$y=x^2+4x+3 = (x+2)^2 - 1$

よって、頂点は $(-2, -1)$.

$y=x^2-8x-10 = (x-4)^2 - 26$

よって、頂点は $(4, -26)$.

* 頂点の移動量を求める。

$x$座標は $-2$ から $4$ へ移動するので、$x$軸方向に $4 - (-2) = 6$ だけ移動。

$y$座標は $-1$ から $-26$ へ移動するので、$y$軸方向に $-26 - (-1) = -25$ だけ移動。

問題2：放物線 $y=3x^2+7x-10$ を $x$軸方向に2、$y$軸方向に-3だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

* $x$軸方向に2、$y$軸方向に-3だけ平行移動するには、$x$ を $x-2$ に、$y$ を $y+3$ に置き換える。

$y+3 = 3(x-2)^2 + 7(x-2) - 10$

$y = 3(x^2 - 4x + 4) + 7x - 14 - 10 - 3$

$y = 3x^2 - 12x + 12 + 7x - 27$

$y = 3x^2 - 5x - 15$

問題3：放物線 $y=x^2+x+2$ を、次の直線または点に関して、それぞれ対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

(1) $x$軸 (2) $y$軸 (3) 原点

(1) $x$軸に関して対称移動する場合、$y$を $-y$ に置き換える。

$-y = x^2 + x + 2$

$y = -x^2 - x - 2$

(2) $y$軸に関して対称移動する場合、$x$を $-x$ に置き換える。

$y = (-x)^2 + (-x) + 2$

$y = x^2 - x + 2$

(3) 原点に関して対称移動する場合、$x$を $-x$ に、$y$を $-y$ に置き換える。

$-y = (-x)^2 + (-x) + 2$

$-y = x^2 - x + 2$

$y = -x^2 + x - 2$

問題4：次の関数に最大値、最小値があればそれを求めよ。

(1) $y=x^2+2x \ (-2 \le x \le 3)$

(2) $y=-x^2-8x+2 \ (0 \le x < 5)$

(1) $y = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$

頂点は $(-1, -1)$.

定義域 $-2 \le x \le 3$ において、

$x = -1$ のとき、最小値 $-1$

$x = 3$ のとき、最大値 $3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15$

(2) $y = -x^2 - 8x + 2 = -(x^2 + 8x) + 2 = -(x+4)^2 + 16 + 2 = -(x+4)^2 + 18$

頂点は $(-4, 18)$.

定義域 $0 \le x < 5$ において、

$x = 0$ のとき、 $y = 2$

$x = 5$ のとき、 $y = -25 - 40 + 2 = -63$

$x = 0$ に近いほど値は小さくなるので、最大値は $x=0$で

2. 最小値はなし。

問題5：放物線 $y=x^2+4x+c \ (-3 \le x \le 2)$ の最大値が3であるように定数 $c$ の値を求めよ。またその最小値を求めよ。

$y = x^2 + 4x + c = (x+2)^2 - 4 + c$

頂点は $(-2, -4+c)$.

定義域 $-3 \le x \le 2$ において、

$x = 2$ のとき、 $y = 4 + 8 + c = 12 + c$

$x = -2$ のとき、 $y = -4 + c$

$x = -3$ のとき、 $y = 9 - 12 + c = -3 + c$

最大値が3であることから、$12+c=3$より$c=-9$

最小値は$-4+c=-4-9=-13$.

3. 最終的な答え

問題1：$x$軸方向に6、$y$軸方向に-25

問題2：$y = 3x^2 - 5x - 15$

問題3：(1) $y = -x^2 - x - 2$、(2) $y = x^2 - x + 2$、(3) $y = -x^2 + x - 2$

問題4：(1) 最大値15 (x=3)、最小値-1 (x=-1)、(2) 最大値2 (x=0)、最小値なし

問題5：$c = -9$、最小値 $-13$