実数 $x, y$ に対して、不等式 $x^2 + 3xy \ge 5xy - 2y^2$ を証明せよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して、不等式 $x^2 + 3xy \ge 5xy - 2y^2$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形し、平方完成を用いて証明します。

まず、不等式を移項して整理します。

$x^2 + 3xy - 5xy + 2y^2 \ge 0$

$x^2 - 2xy + 2y^2 \ge 0$

次に、$x$ について平方完成を行います。

$(x - y)^2 - y^2 + 2y^2 \ge 0$

$(x - y)^2 + y^2 \ge 0$

$(x - y)^2$ は実数の二乗なので、常に0以上です。

$y^2$ も実数の二乗なので、常に0以上です。

したがって、$(x - y)^2 + y^2$ は0以上の値の和なので、常に0以上となります。

3. 最終的な答え

$(x - y)^2 + y^2 \ge 0$ より、与えられた不等式 $x^2 + 3xy \ge 5xy - 2y^2$ は常に成り立つ。