与えられた3つの式をそれぞれ簡単にします。 (1) $(\log_2 9 + \log_8 3)(\log_3 2 + \log_9 4)$ (2) $\log_4 3 \cdot \log_9 25 \cdot \log_5 8$ (3) $\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ簡単にします。

(1) $(\log_2 9 + \log_8 3)(\log_3 2 + \log_9 4)$

(2) $\log_4 3 \cdot \log_9 25 \cdot \log_5 8$

(3) $\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2)$

2. 解き方の手順

(1)

$\log_2 9 = \log_2 3^2 = 2 \log_2 3$

$\log_8 3 = \log_{2^3} 3 = \frac{1}{3} \log_2 3$

$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}$

$\log_9 4 = \log_{3^2} 2^2 = \frac{2}{2} \log_3 2 = \log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}$

よって、

$(\log_2 9 + \log_8 3)(\log_3 2 + \log_9 4) = (2\log_2 3 + \frac{1}{3} \log_2 3)(\frac{1}{\log_2 3} + \frac{1}{\log_2 3})$

$= \frac{7}{3} \log_2 3 \cdot \frac{2}{\log_2 3} = \frac{14}{3}$

(2)

$\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3}{2}$

$\log_9 25 = \frac{\log_5 25}{\log_5 9} = \frac{2}{\log_5 9} = \frac{2}{2 \log_5 3} = \frac{1}{\log_5 3} = \log_3 5$

$\log_5 8 = \log_5 2^3 = 3 \log_5 2$

$\log_4 3 \cdot \log_9 25 \cdot \log_5 8 = \frac{\log_2 3}{2} \cdot \log_3 5 \cdot 3 \log_5 2 = \frac{3}{2} \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 2$

$= \frac{3}{2} \cdot \frac{\log_2 3}{1} \cdot \frac{\log_2 5}{\log_2 3} \cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 5} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

(3)

$\log_2 10 = \log_2 (2 \cdot 5) = \log_2 2 + \log_2 5 = 1 + \log_2 5$

$\log_5 10 = \log_5 (2 \cdot 5) = \log_5 2 + \log_5 5 = \log_5 2 + 1$

$\log_2 10 \cdot \log_5 10 = (1 + \log_2 5)(1 + \log_5 2) = 1 + \log_2 5 + \log_5 2 + \log_2 5 \cdot \log_5 2$

$= 1 + \log_2 5 + \log_5 2 + \log_2 5 \cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 5} = 1 + \log_2 5 + \log_5 2 + 1 = 2 + \log_2 5 + \log_5 2$

$\log_2 10 \cdot \log_5 10 - (\log_2 5 + \log_5 2) = 2 + \log_2 5 + \log_5 2 - \log_2 5 - \log_5 2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{14}{3}$

(2) $\frac{3}{2}$

(3) $2$