与えられた方程式 $27x^3 - 8 = 0$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $27x^3 - 8 = 0$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を以下のように変形します。

$27x^3 = 8$

両辺を27で割ります。

$x^3 = \frac{8}{27}$

次に、両辺の立方根をとります。

$x = \sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

$\frac{8}{27}$ は $\frac{2}{3}$ の3乗であるため、

$x = \frac{2}{3}$

また、複素数解も求めます。

$27x^3 - 8 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) = 0$

$3x - 2 = 0$ より $x = \frac{2}{3}$ （実数解）

$9x^2 + 6x + 4 = 0$ を解くと、二次方程式の解の公式を使って

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4}}{2 \cdot 9} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 144}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{-108}}{18} = \frac{-6 \pm 6i\sqrt{3}}{18} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{3}$

したがって、複素数解は $x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{3}$ と $x = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{2}{3}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{3}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{3}$