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$a+b+c=0$ のとき、$(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0$ を証明する。

代数学代数等式証明
2025/7/1

1. 問題の内容

a+b+c=0a+b+c=0 のとき、(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0 を証明する。

2. 解き方の手順

a+b+c=0a+b+c=0 より、b+c=−ab+c=-a, c+a=−bc+a=-b, a+b=−ca+b=-c である。
したがって、
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=(−a)(−b)(−c)+abc=−abc+abc=0(b+c)(c+a)(a+b)+abc = (-a)(-b)(-c) + abc = -abc + abc = 0
よって、与式は証明された。

3. 最終的な答え

(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0

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