$a+b+c=0$ のとき、$(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0$ を証明します。

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、$(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0$ を証明します。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $a+b+c=0$ を利用して、式の左辺を変形し、0になることを示します。

まず、$a+b+c=0$ より、以下の関係が得られます。

$b+c = -a$

$c+a = -b$

$a+b = -c$

これらの関係を$(b+c)(c+a)(a+b)+abc$に代入すると、

$(b+c)(c+a)(a+b)+abc = (-a)(-b)(-c)+abc = -abc+abc = 0$

したがって、$(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$(b+c)(c+a)(a+b)+abc = 0$ は証明されました。