与えられた6つの二次関数について、それぞれのグラフを描き、軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x - 2$ (2) $y = 2x^2 + 8x - 1$ (3) $y = -x^2 + 4x - 4$ (4) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + 3$ (5) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x$ (6) $y = (x+2)(2x-1)$

1. 問題の内容

与えられた6つの二次関数について、それぞれのグラフを描き、軸と頂点を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x - 2$

(2) $y = 2x^2 + 8x - 1$

(3) $y = -x^2 + 4x - 4$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + 3$

(5) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x$

(6) $y = (x+2)(2x-1)$

2. 解き方の手順

二次関数の軸と頂点を求めるためには、まず平方完成を行う必要があります。一般的に、二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ は、平方完成によって $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形できます。このとき、軸は $x=p$ であり、頂点は $(p, q)$ です。

(1) $y = x^2 - 2x - 2$

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 2$

$y = (x - 1)^2 - 3$

軸: $x = 1$, 頂点: $(1, -3)$

(2) $y = 2x^2 + 8x - 1$

$y = 2(x^2 + 4x) - 1$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 - 1$

$y = 2(x + 2)^2 - 9$

軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, -9)$

(3) $y = -x^2 + 4x - 4$

$y = -(x^2 - 4x) - 4$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4 - 4$

$y = -(x - 2)^2$

軸: $x = 2$, 頂点: $(2, 0)$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x) + 3$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 6x + 9) - \frac{9}{2} + 3$

$y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - \frac{3}{2}$

軸: $x = -3$, 頂点: $(-3, -\frac{3}{2})$

(5) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x)$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{1}{2}$

軸: $x = -1$, 頂点: $(-1, \frac{1}{2})$

(6) $y = (x+2)(2x-1)$

$y = 2x^2 + 4x - x - 2$

$y = 2x^2 + 3x - 2$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x) - 2$

$y = 2(x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - \frac{9}{8} - 2$

$y = 2(x + \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

軸: $x = -\frac{3}{4}$, 頂点: $(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = 1$, 頂点: $(1, -3)$

(2) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, -9)$

(3) 軸: $x = 2$, 頂点: $(2, 0)$

(4) 軸: $x = -3$, 頂点: $(-3, -\frac{3}{2})$

(5) 軸: $x = -1$, 頂点: $(-1, \frac{1}{2})$

(6) 軸: $x = -\frac{3}{4}$, 頂点: $(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$