(1) $|a| = 1$, $|b| = 3$, $|a - b| = \sqrt{6}$ とする。$t$ が動くときの $|a + tb|$ の最小値を求める。 (2) ベクトル $a$, $b$ が $|a| = 3$, $|b| = 1$, $|a + b| = \sqrt{13}$ を満たすとき、$a$ と $b$ のなす角 $\theta$ を求める。ただし $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

1. 問題の内容

(1) $|a| = 1$, $|b| = 3$, $|a - b| = \sqrt{6}$ とする。$t$ が動くときの $|a + tb|$ の最小値を求める。

(2) ベクトル $a$, $b$ が $|a| = 3$, $|b| = 1$, $|a + b| = \sqrt{13}$ を満たすとき、$a$ と $b$ のなす角 $\theta$ を求める。ただし $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$|a - b|^2$ を計算する。

$|a - b|^2 = (a - b) \cdot (a - b) = |a|^2 - 2a \cdot b + |b|^2$

問題文より、$|a - b|^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$, $|a|^2 = 1^2 = 1$, $|b|^2 = 3^2 = 9$ なので、

$6 = 1 - 2a \cdot b + 9$

$-2a \cdot b = -4$

$a \cdot b = 2$

次に、$|a + tb|^2$ を計算する。

$|a + tb|^2 = (a + tb) \cdot (a + tb) = |a|^2 + 2ta \cdot b + t^2|b|^2$

$= 1 + 2t(2) + t^2(9) = 9t^2 + 4t + 1$

$|a + tb|^2 = 9t^2 + 4t + 1 = 9(t^2 + \frac{4}{9}t) + 1 = 9(t + \frac{2}{9})^2 - 9(\frac{4}{81}) + 1 = 9(t + \frac{2}{9})^2 - \frac{4}{9} + 1 = 9(t + \frac{2}{9})^2 + \frac{5}{9}$

$|a + tb|^2$ の最小値は $t = -\frac{2}{9}$ のとき $\frac{5}{9}$ となる。

よって、$|a + tb|$ の最小値は $\sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(2)

$|a + b|^2$ を計算する。

$|a + b|^2 = (a + b) \cdot (a + b) = |a|^2 + 2a \cdot b + |b|^2$

問題文より、$|a + b|^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$, $|a|^2 = 3^2 = 9$, $|b|^2 = 1^2 = 1$ なので、

$13 = 9 + 2a \cdot b + 1$

$2a \cdot b = 3$

$a \cdot b = \frac{3}{2}$

$a \cdot b = |a||b| \cos{\theta}$ であるから、

$\frac{3}{2} = 3(1)\cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\theta = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $60^\circ$