$x=2$ が方程式 $x^3 + ax^2 - x - 6 = 0$ の解であるとき、実数 $a$ の値と他の解を求めます。

1. 問題の内容

$x=2$ が方程式 $x^3 + ax^2 - x - 6 = 0$ の解であるとき、実数 $a$ の値と他の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ が解であることから、$x=2$ を方程式に代入して $a$ の値を求めます。

$2^3 + a \cdot 2^2 - 2 - 6 = 0$

$8 + 4a - 2 - 6 = 0$

$4a = 0$

$a = 0$

(2) 求めた $a$ の値を方程式に代入し、方程式を解きます。

$x^3 + 0 \cdot x^2 - x - 6 = 0$

$x^3 - x - 6 = 0$

$x=2$ が解の一つなので、$x^3 - x - 6$ は $(x-2)$ を因数に持ちます。組立除法を使って因数分解します。

```

1 0 -1 -6

2 | 2 4 6

----------------

1 2 3 0

```

よって、 $x^3 - x - 6 = (x-2)(x^2 + 2x + 3) = 0$ となります。

(3) $x^2 + 2x + 3 = 0$ を解きます。解の公式より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

したがって、他の解は $-1 + i\sqrt{2}$ と $-1 - i\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a = 0$

他の解は $x = -1 + i\sqrt{2}, -1 - i\sqrt{2}$